Question

設函數，，其中為實數,若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍．

Answer 1

a∈(e,+∞)

解析試題分析：分別利用導數求出單調區間與在上的最小值，與給定的在上是單調減函數，且在上有最小值相結合，得出關于的關系式，可得的取值范圍．
解：令,
考慮到f(x)的定義域為(0,+∞),故a>0,進而解得x>a^-1,即f(x)在(a^-1,+∞)上是單調減函數,
同理,f(x)在(0,a^-1)上是單調增函數．
由于f(x)在(1,+∞)上是單調減函數,故(1,+∞)(a^-1,+∞),從而a^-1≤1,即a≥1,
令g'(x)=e^x-a=0,得．
當時, ;當x>時, ．
又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以,
即a>e．綜上,有a∈(e,+∞)．
考點:利用導數求函數的單調區間與最值．