Question

已知命題p：關于x的不等式x²+2ax+4＞0對?x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=-（4-2a）^x是R上的減函數(shù)．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

[

3

2

，2）∪（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：由關于x的不等式x²+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立可得△=4a²-16＜0可得P；由函數(shù)f（x）=-（4-2a）^x是減函數(shù)可得4-2a＞1可得q，若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則p，q中一個為真，一個為假，分情況求解a的取值范圍．

解答：解析：先簡化命題p、q，構建關于a的關系式．
由x²+2ax+4＞0對?x∈R恒成立，得
T△=（2a）²-4×4＜0，解得-2＜a＜2．
所以p：-2＜a＜2．
由y=-（4-2a）^x是R上的減函數(shù)，
得4-2a＞1，解得a＜

3

2

．
所以q：a＜

3

2

．
由“p∨q”為真，“p∧q”為假知，p與q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．
所以

-2＜a＜2 a≥ 3 2

或

a≤-2或a≥2 a＜ 3 2

從而得

3

2

≤a＜2或a≤-2．
故答案為：[

3

2

，2）∪（-∞，-2]．

點評：本題主要考查了p或q復合命題的真假的應用，解題的關鍵是利用二次函數(shù)的性質及指數(shù)函數(shù)的單調性準確求出命題p，q為真時a的范圍．