Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），直線l：

x

a

+

y

b

=1與圓x²+y²=

4

15

c²相切，
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若點P是直線l上任意一點，O是坐標原點，當

OP

•

PF

取最大值為

2 3 -1

5

時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由直線和圓相切的條件，即d=r，化簡整理，再由離心率公式，得到e的方程，解得即可；
（Ⅱ）設P（m，n），F（c，0），運用數量積的坐標公式，化簡配方，要求最大，只要求（m-

c

2

）²+n²的最小值．再由兩點的距離公式，由于（m-

c

2

）²+n²的幾何意義是兩點P（m，n）和點Q（

c

2

，0）的距離的平方，則最小值為Q到直線的距離的平方．運用點到直線的距離公式，得到等式，解出a，b，c，再由直線l和直線PQ聯立，求解即可得到P的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由于直線l：

x

a

+

y

b

=1與圓x²+y²=

4

15

c²相切，
則d=

|0+0-ab|

a2+b2

=

2c

15

，即有4c²（a²+b²）=15a²b²，
即有4c²（2a²-c²）=15a²（a²-c²）
4c⁴-23a²c²+15a⁴=0，
4e⁴-23e²+15=0，
解得，e²=

3

4

或5（舍去），
即有橢圓的離心率為

3

2

；
（Ⅱ）設P（m，n），F（c，0），
則

OP

•

PF

=（m，n）•（c-m，-n）=mc-m²-n²=-[（m-

c

2

）²+n²]+

c2

4

要求最大，只要求（m-

c

2

）²+n²的最小值．
由于（m-

c

2

）²+n²的幾何意義是兩點P（m，n）和點Q（

c

2

，0）的距離的平方，
則最小值為Q到直線的距離的平方，即為（

| bc 2 +0-ab|

a2+b2

）²，
則

OP

•

PF

的最大值為

c2

4

-

( bc 2 -ab)2

a2+b2

=

2 3 -1

5

，
由于

c

a

=

3

2

，則可令a=2t，c=

3

t，b=t，即有

3t2

4

-

( 3 -4)2t2

20

=

2 3 -1

5

，
解得，t=1．
即有a=2，b=1，c=

3

，Q（

3

2

，0），直線l：x+2y-2=0，此時PQ：y=2（x-

3

2

），
聯立兩直線的方程，可得P（

2+2 3

5

，

4- 3

5

）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和圓相切的條件，考查離心率的求法，考查向量的數量積的坐標表示，以及兩點的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．