Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=AB=1．
（1）若BC=3，求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（2）若BC=2，求證：平面BPC⊥平面PCD；
（3）設E為PC的中點，在線段BC上是否存在一點F，使得EF⊥CD？請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：建立空間直角坐標系，利用向量的數量積解決．

解答： 解：建立坐標系如圖，

（1）P（0，0，1），C（1，3，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
所以

PC

=（1，3，-1），

BD

=（-1，1，0），
所以cos＜

PC

，

BD

＞=

PC • BD

| PC || BD |

=

-1+3

11 2

=

22

11

，
所以異面直線PC與BD所成角的余弦值為

22

11

；
（2）設平面BPC的一個法向量為

n

=（x，y，z），平面PCD的一個法向量為

m

=（a，b，c），
則由

n • PB =0 n • BC =0

及

m • PD =0 m • DC =0

，
得

x-z=0 2y=0

及

b-c=0 a+b=0

，取x=1，b=c=1，
所以

n

=（1，0，1），

m

=（-1，1，1），

n

•

m

=-1+0+1=0，
所以

n

⊥

m

，
所以平面BPC⊥平面PCD；
（3）假設存在存在一點F，使得EF⊥CD，設CB=x，BF=y，那么E（

1

2

，

x

2

，

1

2

），F（1，y，0），

EF

=（

1

2

，y-

x

2

，-

1

2

），

CD

=（-1，1-x，0），

EF

•

CD

=-

1

2

+(1-x)(y-

x

2

)=0，所以存在x，y使等式成立．

點評：本題考查了利用空間向量解決異面直線所成的角以及面面垂直的問題，關鍵要適當建立坐標系，正確寫出所需向量的坐標，屬于中檔題．