Question

已知直線y=k（x-3）與雙曲線

x2

m

-

y2

27

=1，有如下信息：聯立方程組

y=k(x-3) x2 m - y2 27 =1

消去y后得到方程Ax²+Bx+C=0，分類討論：
（1）當A=0時，該方程恒有一解；
（2）當A≠0時，△=B²-4AC≥0恒成立．在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A、[9，+∞）
• B、（1，9]
• C、（1，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

分析：先根據直線方程可知直線恒過定點，根據題設條件可知直線與雙曲線恒有交點，進而可判斷出雙曲線的右頂點在定點上或左側進而求得m的范圍，進而根據雙曲線方程求得c，進而求得離心率e的表達式，根據m的范圍確定e的范圍．

解答：解：依題意可知直線恒過定點（3，0），根據（1）和（2）可知直線與雙曲線恒有交點，
故需要定點（3，0）在雙曲線的右頂點或右頂點的右邊，
即

m

≤3，求得m≤9
要使方程為雙曲線需m＞0
∴m的范圍是0＜m≤9
c=

m+27

∴e=

c

a

=

m+27

m

m+27

m

=

1+ 27 m

∵0＜m≤9
∴

1+ 27 m

≥2
即e≥2
故選D．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生數形結合的思想和轉化和化歸的思想．