Question

已知直線l：y=kx+2（k為常數）過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上頂點B和左焦點F，且被圓x²+y²=4截得的弦長為L，若L≥

4

5

5

，則橢圓離心率e的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  5

  5

  ]
• B．(0，

  2 5

  5

  ]
• C．(0，

  3 5

  5

  ]
• D．(0，

  4 5

  5

  ]

Answer 1

分析：由垂徑定理，結合L≥

4

5

5

算出直線l到圓x²+y²=4的圓心的距離d滿足d²≤

16

5

，結合點到直線的距離公式建立關于k的不等式，算出k²≥

1

4

．由直線l經過橢圓的上頂點B和左焦點F，可得c=-

2

k

，從而得到a²=4+

4

k2

，利用離心率的公式建立e關于k的關系式，即可求出橢圓離心率e的取值范圍．

解答：解：圓x²+y²=4的圓心到直線l：y=kx+2的距離為d=

2

k2+1

∵直線l：y=kx+2被圓x²+y²=4截得的弦長為L，L≥

4

5

5

∴由垂徑定理，得2

r2-d2

≥

4 5

5

，
即2

4-d2

≥

4 5

5

，解之得d²≤

16

5

∴

4

k2+1

≤

16

5

，解之得k²≥

1

4

∵直線l經過橢圓的上頂點B和左焦點F，
∴b=2且c=

a2-b2

=-

2

k

，即a²=4+

4

k2

因此，橢圓的離心率e滿足e²=

c2

a2

=

4 k2

4+ 4 k2

=

1

1+k2

∵k²≥

1

4

，∴0＜

1

1+k2

≤

4

5

，可得e²∈（0，

2 5

5

]
故選：B

點評：本題給出橢圓的上頂點和左焦點都在直線l上，在l被圓截得弦長范圍的情況下求橢圓的離心率，著重考查了點到直線的距離公式、橢圓的標準方程與簡單幾何性質、函數值域的求法等知識，屬于中檔題．