Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D、E分別是棱BC、AB的中點，點F在棱CC₁上，已知AB＝AC，AA₁＝3，BC＝CF＝2.

(1)求證：C₁E∥平面ADF；
(2)設點M在棱BB₁上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF?

Answer 1

（1）見解析（2）當BM＝1時

(1)證明：連結CE交AD于O，連結OF.
因為CE，AD為△ABC中線，所以O為△ABC的重心，.
從而OF//C₁E.OF平面ADF，C₁E平面ADF，所以C₁E∥平面ADF.
(2)解：當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF.
在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，由于B₁B⊥平面ABC，BB₁平面B₁BCC₁，所以平面B₁BCC₁⊥平面ABC.由于AB＝AC，D是BC中點，所以AD⊥BC.又平面B₁BCC₁∩平面ABC＝BC,所以AD⊥平面B₁BCC₁.而CM平面B₁BCC₁，于是AD⊥CM.因為BM＝CD＝1，BC＝CF＝2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.DF與AD相交，所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF.