Question

已知P（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為A．
（1）求切線l的方程及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若x₀∈（0，1），求△PAB的面積S的最大值，并求此時x₀的值．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=，…（2分）
∴過點(diǎn)P的切線方程為y-lnx₀=（x-x₀）
即切線方程為：y=x+lnx₀-1…（4分）
令y=0，得x=x₀-x₀lnx₀，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₀-x₀lnx₀，0）…（6分）
（2）AB=x₀-x₀lnx₀-x₀=-x₀lnx₀，PA=|f（x₀）|=-lnx₀，
∴S=AB•PA=x₀（lnx₀）²…（9分）
S′=ln²x₀+x₀2lnx₀•=lnx₀（lnx₀+2）…（11分）
由S′＜0得，＜x＜1，
∴x∈（0，）時，S單調(diào)遞增；x∈（，1）時S單調(diào)遞減；…（13分）
∴S_max=S（）=
∴當(dāng)x₀=，面積S的最大值為．…（14分）
分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后利用點(diǎn)斜式寫出在點(diǎn)P處的切線方程，令y=0，求出x的值即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先求出AB，PA的長，然后得到△PAB的面積S，然后利用導(dǎo)數(shù)研究面積函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．