Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標方程；

（Ⅱ）若與交于，兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程為；的直角坐標方程；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去參數即可求得的普通方程，利用極坐標和直角坐標的互化公式，,即可求得的直角坐標方程;

（Ⅱ）理解參數的幾何意義并利用其幾何意義,聯立直線和曲線方程,利用韋達定理進行運算求解即可.

（1）由（為參數），消去參數，得，

即的普通方程為.

由，得，

將，代入，得，

即的直角坐標方程.

（2）由（為參數），可得（），

故的幾何意義是拋物線上的點（原點除外）與原點連線的斜率.

由題意知，當時，，

則與只有一個交點不符合題意，故.

把（為參數）代入，

得，設此方程的兩根分別為，，

由韋達定理可得，，，

所以.