Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

(1)證明：平面ADB⊥平面BDC；

(2)若BD＝1，求三棱錐D－ABC的表面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）翻折后，直線AD與直線DC、DB都垂直，可得直線與平面BDC垂直，再結合AD是平面ADB內的直線，可得平面ADB與平面垂直；

（Ⅱ）根據圖形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等邊三角形，利用三角形面積公式可得三棱錐D﹣ABC的表面積．

解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，

∴當△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC=D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD平面ABD．

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，

從而

所以三棱錐D﹣ABC的表面積為：