Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0），直線l與拋物線C相交于A，B兩點，P為拋物線上一點，當直線l過拋物線焦點時，|AB|的最小值為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若AB的中點為（3，1），且直線PA，PB的傾斜角互補，求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵拋物線C：y2=2px（p＞0），直線l與拋物線C相交于A，B兩點，P為拋物線上一點，

當直線l過拋物線焦點時，|AB|的最小值為2，

∴2p=2，解得p=1，

∴拋物線C的方程為y2=2x．

（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

設直線l的方程為x=my+n，代入拋物線方程得y2﹣2my﹣2n=0，

y1+y2=2m，y1y2=﹣2n，

∵AB的中點為（3，1），∴2m=2，即m=1，

∴直線l的方程為x=y+2，

∴y1+y2=2，y1y2=﹣4，

∴|AB|= =2 ，

∵kAP+kBP= = =0，

∴2y0+y1+y2=0，∴y0=﹣1，

∴P（ ），點P到直線l的距離d= ，

∴△PAB的面積為 |AB|d=

【解析】（Ⅰ）當直線l過拋物線焦點時，|AB|的最小值為2，由此得到2p=2，從而能求出拋物線C的方程．（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+n，代入拋物線方程得y2﹣2my﹣2n=0，利用韋達定理結合AB的中點為（3，1），求出m=1，從而直線l的方程為x=y+2，由此利用弦長公式、直線PA，PB的傾斜角互補、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出△PAB的面積．