Question

在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，右焦點為（為常數(shù)，且），過作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，為線段的中點，射線交橢圓于點，四邊形是平行四邊形．

（1）求橢圓的方程；

（2）判斷橢圓與線段是否有公共點？

Answer 1

（1） 

（2）或時，橢圓與線段沒有公共點；時，橢圓與線段有公共點

解析:

（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為，

直線的方程為．

將代入中，整理得．①

記，，，則，是方程①的兩個不同的根，

又四邊形是平行四邊形，則．

點在橢圓上，

即解得

故所求橢圓的方程為．

（2）將代入中，整理得．

令．

則橢圓與線段有公共點時，的取值范圍等價于函數(shù)的值域．

的值域為，當(dāng)，即時，橢圓與線段有公共點．

當(dāng)或，即或時，橢圓與線段沒有公共點．