Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的定義域，判斷并證明的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(3)解不等式.

Answer 1

【答案】（1）是定義在上的奇函數(shù)；（2）在其定義域上是增函數(shù)；（3）.

【解析】試題分析：（1）化簡函數(shù)的即解析式為，求得函數(shù)的定義域為，再根據(jù)，可得函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)；（2）設(shè)利用作差證明即可；（3）先判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、得到關(guān)于 的不等式，解不等式即可得結(jié)果.

試題解析：(1) ∵，∴ ，∴的定義域為.

∵的定義域為,

又 ，

∴，　

∴是定義在上的奇函數(shù)．

(2) 任取,且,則

，

∵，∴，

∴，又， ，

∴，∴，

∴函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)．

(3) 由得.

∵函數(shù)為奇函數(shù)，

∴，∴．

由(2)題已知函數(shù)在上是增函數(shù).

∴ ，∴．

∴不等式的解集為.

【方法點晴】本題主要考查函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點：（1）一定注意函數(shù)的定義域（這一點是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤剑�不等掉以輕心）；（2）注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.