Question

（本小題滿分14分）已知，函數．
（Ⅰ）當時，
（ⅰ）若，求函數的單調區間；
（ⅱ）若關于的不等式在區間上有解，求的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點與點的關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）單調遞增區間為，的取值范圍是；（2）見解析.

第一問中因為，所以，得到解析式，然后分析函數的單調區間，運用導數的正負來判定即可
第二問中，關于的不等式在區間上有解，等價轉化為
不等式在區間上有解，然后利用分離參數m的思想得到取值范圍
第三問中，因為的對稱中心為，
而可以由經平移得到，
所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關于點對稱．然后加以證明即可。
解：（Ⅰ）（i）因為，所以，        ……………………1分
則， 而恒成立，
所以函數的單調遞增區間為．      ……………………4分
（ii）不等式在區間上有解，
即 不等式在區間上有解，
即  不等式在區間上有解，
等價于不小于在區間上的最小值．         ……………………6分
因為時，，
所以的取值范圍是．                  ……………………9分
（Ⅱ）因為的對稱中心為，
而可以由經平移得到，
所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關于點對稱．    ……………………10分
對猜想證明如下：
因為，
所以，
所以，的斜率分別為，．
又直線與平行，所以，即，
因為，
所以，，   ……………………12分
從而，
所以．
又由上 ，
所以點，（）關于點對稱．
故當直線與平行時，點與點關于點對稱．        ……………………14分