Question

【題目】已知動點到定點和定直線的距離之比為，設動點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作斜率不為0的任意一條直線與曲線交于兩點，試問在軸上是否存在一點（與點不重合），使得，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）;（Ⅱ）存在點.

【解析】試題分析：（I）設點坐標為直接找出關于的方程,這就是曲線的軌跡方程. （Ⅱ） 可知直線與傾斜角互補,則,設帶入式,得到的方程,求出的值.

試題解析：

（I）法1：設,則依題意有

整理得,即為曲線的方程.

法2：由橢圓第二定義知，曲線是以為焦點，以直線為相應準線，離心率為的橢圓，易得曲線的方程為.

（Ⅱ）存在.

設直線,

則，即

由得,即

整理得

∴ 解得

綜上知, 在軸上是存在點滿足題意.