已知橢圓C:
的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為
的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.
(I)
； (II) 
或
．
解析試題分析：(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質，易得
，進而寫出方程； (II) 先找到AB中垂線與l的交點，保證ΔPAB為等腰三角形，再滿足
即可保證ΔPAB為等邊三角形，此外，注意對于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因為橢圓
的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內角為
的菱形的四個頂點,
所以
,橢圓
的方程為
． 4分
(II)設
則
當直線
的斜率為
時，的垂直平分線就是
軸，軸與直線
的交點為
,
又因為
，所以
，
所以
是等邊三角形,所以滿足條件； 6分
當直線的斜率存在且不為時，設的方程為
所以
，化簡得
所以 
，則
8分
設的垂直平分線為
，它與直線的交點記為
所以
，解得
,
則
10分
因為為等邊三角形， 所以應有
代入得到
，解得
（舍），
13分
綜上可知， 或 14分
考點：直線與圓錐曲線的位置關系．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的長軸兩端點分別為
，
是橢圓上的動點，以
為一邊在
軸下方作矩形
，使
，
交于點
，
交于點
．
（Ⅰ）如圖（1），若
，且
為橢圓上頂點時，
的面積為12，點
到直線的距離為
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若
，試證明：
成等比數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為：
（
為參數），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸）中,直線
的極坐標方程為：
．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標系下的方程；
（II）設點
是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．
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給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為
，且其短軸上的一個端點到
的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．
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已知橢圓
，拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為原點
，每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：
|  |  |  |  |
 |  |  |  |  |
，的標準方程；
與有且只有一個公共點
，且與的準線交于
，試探究：在坐標平面內是否存在定點
，使得以
為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
是橢圓
的左、右焦點，且離心率
，點
為橢圓上的一個動點，
的內切圓面積的最大值為
.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若
是橢圓上不重合的四個點，滿足向量
與
共線，
與
共
線，且
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的頂點為原點，其焦點
到直線
的距離為
．設
為直線
上的點，過點作拋物線的兩條切線
，其中
為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點
為直線上的定點時，求直線
的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求
的最小值．
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：
的離心率為
，左焦點為
. 
與曲線
、
兩點，且線段
的中點
在圓
上，求
的值.
有相同的焦點，與雙曲線
有相同漸近線，求雙曲線方程.