Question

已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：

（1）求，的標準方程；
（2）設斜率不為0的動直線與有且只有一個公共點，且與的準線交于，試探究：在坐標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1） ，；（2）存在定點.

解析試題分析：（1）設出標準方程，由點的坐標代入求出基本量即得；（2）巧設直線的方程為，由直線與橢圓相切，求得，利用直線與的準線相交求點的坐標，寫出以為直徑的圓的方程，利用恒成立求解.
試題解析：（1）設，的標準方程為：，，∵和代入拋物線方程中得到的解相同，∴，     （3分）
又和在橢圓上，把點的坐標代入橢圓方程得，，則，
的標準方程分別為，.       （6分）
（2）設直線的方程為，將其代入消去并化簡整理得：
，又直線與橢圓相切，
∴，∴，    （8分）
設切點，則，，
又直線與的準線的交點，
∴以為直徑的圓的方程為，     （10分）
化簡整理得恒成立，
故，，即存在定點符合題意.      （13分）
考點： 橢圓、拋物線的性質，圓的性質，直線與圓橢圓的關系，定點問題.