Question

（2013•濟南二模）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上相異兩點，Q、P到y軸的距離的積為4且

OP

•

OQ

=0．
（1）求該拋物線的標準方程．
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由

OP

•

OQ

=0，結合點P，Q在拋物線上，代入坐標后得到y₁y₂=-4p²，把縱坐標轉化為橫坐標后利用|x₁x₂|=4可求得p的值，則拋物線方程可求；
（2）連接PQ，PR分別叫x軸與點E，M，設出E和M的坐標，同時設出PQ，PR所在的直線方程，和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求出P，Q，R三點縱坐標的關系，再根據Q是T和R的中點找到E和M的坐標的關系，最終求出P和R縱坐標的乘積，用含有縱坐標的弦長公式寫出弦PR長度，代入縱坐標的乘積后利用單調性求最小值．

解答：解：（1）∵

OP

•

OQ

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在拋物線上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
故得

y12

2p

•

y22

2p

+y₁y₂=0，∴y₁y₂=-4p²，
∴|x1x2|=

(y1y2)2

4p2

=4p2，
又|x₁x₂|=4，故得4p²=4，p=1．
所以拋物線的方程為y²=2x；
（2）如圖，設直線PQ過點E（a，0）且方程為x=my+a
聯立方程組

x=my+a y2=2x

，消去x得y²-2my-2a=0
∴

y1+y2=2m   y1y2=-2a

①
設直線PR與x軸交于點M（b，0），則可設直線PR方程為x=ny+b，并設R（x₃，y₃），
聯立方程組

x=ny+b y2=2x

，消去x得y²-2ny-2b=0
∴

y1+y3=2n   y1y3=-2b

②
由①、②可得

y3

y2

=

b

a

由題意，Q為線段RT的中點，∴y₃=2y₂，∴b=2a．
又由（Ⅰ）知，y₁y₂=-4，代入①，可得
-2a=-4，∴a=2．故b=4．
∴y₁y₃=-8
∴|PR|=

1+n2

|y1-y3|=

1+n2

•

(y1+y3)2-4y1y3

=2

1+n2

•

n2+8

≥4

2

．
當n=0，即直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值4

2

．

點評：本題考查了拋物線的方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．