Question

（本小題滿分12分） 設的極小值為，其導函數的圖像開口向下且經過點，.
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）方程有唯一實數解，求的取值范圍.
(Ⅲ)若對都有恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；(2)  ；（3）

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）利用幾何意義得到導數的方程的兩個根，然后求解元解析式。
（2）因為方程有唯一解，可以分離參數的思想得到參數的取值范圍。
（3）要研究函數在給定區間恒成立問題，只要求解函數的最值即可。
解：（1），且的圖象過點     …………2分
∴，由圖象可知函數在上單調遞減，在 上單調遞增，在上單調遞減，(不說明單調區間應扣分)
∴，即，解得
∴                …………4分
(2) ,又因為="-8."
由圖像知,,即    …………8分
（3）要使對都有成立，只需
由（1）可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，
在上單調遞減，且，
                 …………10分
∴.           
故所求的實數m的取值范圍為…………12分