Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|對任意a∈R恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜﹣1時，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；

﹣1≤x≤1時，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，

∴﹣ ＜x＜ ；

x＞1時，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，

綜上所述不等式|f（x）|＜1的解集為{x|﹣ ＜x＜ }

（2）解：a=0時，不等式成立，

a≠0時，|f（x）|≥||1﹣ |﹣|1+ ||

∵||1﹣ |﹣|1+ ||＜2，

∴|f（x）|≥2，

x＜﹣1時，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；

﹣1≤x≤1時，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；

x＞1時，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，

綜上所述實數x的取值范圍為{x|x≤﹣1或x≥1}

【解析】（1）利用絕對值的幾何意義，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|對任意a∈R恒成立，分類討論，轉化為|f（x）|≥2，求實數x的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．