Question

【題目】某工廠的污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過(guò)A系統(tǒng)處理,處理后的污水（A級(jí)水）達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo)）的概率為.經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè),若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.

某廠現(xiàn)有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池,分別取樣、檢測(cè). 多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo),則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo).若混合樣本不達(dá)標(biāo),則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本達(dá)標(biāo),則原水池的污水直接排放.

現(xiàn)有以下四種方案,

方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；

方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；

方案三：三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn),剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；

方案四：混在一起化驗(yàn).

化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案的越“優(yōu)”.

（Ⅰ） 若,求個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；

（Ⅱ） 若,現(xiàn)有個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn),請(qǐng)問(wèn)：方案一,二,四中哪個(gè)最“優(yōu)”？

（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（II）見(jiàn)解析;（III）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)所給相互獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率為兩相互獨(dú)立事件概率乘積，及相互獨(dú)立事件的概率和為，可得結(jié)果；（Ⅱ）分別求出三種方案對(duì)應(yīng)分布列，進(jìn)一步求出各自的期望值，比較期望值大小得最優(yōu)方案；（Ⅲ）分別求出期望值，利用期望大小關(guān)系建立關(guān)于的不等式，解得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是； 2分

所以根據(jù)對(duì)立事件原理，不達(dá)標(biāo)的概率為．

（II）方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為．

方案二：由（I）知，每組兩個(gè)樣本的檢測(cè)時(shí)，若達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為，概率為；若不達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為，概率為． 故方案二的檢測(cè)次數(shù)， 可能取， ， ．概率分布列如下，

可求得方案二的期望為，

方案四：混在一起檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為， 可取， ．概率分布列如下，

可求得方案四的期望為．

比較可得，故選擇方案四最“優(yōu)”．

（III）解：方案三：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)， 可取， ．

；

方案四：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)， 可取， ．

；

由題意得 ．

故當(dāng)時(shí)，方案三比方案四更“優(yōu)”．