Question

【題目】已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l1：x﹣y﹣2 =0相切 （Ⅰ）求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．
（Ⅱ）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程
（Ⅲ） 若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得：圓心（0，0）到直線l1：x﹣y﹣2 的距離為圓的半徑， r= =2，所以圓C的標準方程為：x2+y2=4，
所以圓心到直線l2的距離d=
∴
（Ⅱ）因為點G（1，3），所以 ，
所以以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6 （1）
又圓C方程為：x2+y2=4 （2），由（1）﹣（2）得直線MN方程：x+3y﹣4=0
（Ⅲ）設直線l的方程為：y=﹣x+b聯立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，
設直線l與圓的交點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b， （3）
因為∠POQ為鈍角，所以 ，
即滿足x1x2+y1y2＜0，且 與 不是反向共線，
又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以
由（3）（4）得b2＜4，滿足△＞0，即﹣2＜b＜2，
當 與 反向共線時，直線y=﹣x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，
故直線l縱截距的取值范圍是﹣2＜b＜2，且b≠0
【解析】（Ⅰ）由直線與圓相交的性質可知，（ ）2=r2﹣d2 ， 要求AB，只要求解圓心到直線4x﹣3y+5=0的距離．即可求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．（Ⅱ）求出圓C的方程以及以G（1，3）為圓心，QM為半徑的圓，利用圓系方程求直線MN的方程．（Ⅲ）設直線l的方程為：y=﹣x+b聯立x2+y2=4，設直線l與圓的交點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用△＞0，以及韋達定理，通過∠POQ為鈍角，求出﹣2＜b＜2，當 與 反向共線時，直線y=﹣x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，即可得到結果．