Question

【題目】設，.已知函數，.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）已知函數和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求證：在處的導數等于0；

（ii）若關于x的不等式在區間上恒成立，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）單調遞增區間為，，單調遞減區間為.（II）（i）見解析.（ii）.

【解析】

試題求導數后因式分解根據，得出，根據導數的符號判斷函數的單調性，給出單調區間，對求導，根據函數和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，解得，根據的單調性可知在上恒成立，關于x的不等式在區間上恒成立，得出，得，，

求出的范圍，得出的范圍.

試題解析：（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

當變化時，，的變化情況如下表：

所以，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.

（II）（i）因為，由題意知，

所以，解得.

所以，在處的導數等于0.

（ii）因為，，由，可得.

又因為，，故為的極大值點，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在內單調遞增，在內單調遞減，

故當時，在上恒成立，從而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因為，，，故的值域為.

所以，的取值范圍是.