Question

已知函數f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然對數的底數，a∈R.

(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間與極值；

(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）f(x)的單調增區間是，單調減區間為，極小值為＋ln 2.無極大值（2）a＝

【解析】(1)∵f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，

令f′(x)＞0，得＜x＜e，

f′(x)＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的單調增區間是，單調減區間為.

∴f(x)的極小值為f ＝－ln ＝＋ln 2.無極大值．

(2)假設存在實數a，使f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]有最小值3，

f′(x)＝2ax－＝.

①當a≤0時，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上單調遞減，

∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝ (舍去)．

②當a＞0時，令f′(x)＝0，得x＝ ，

(ⅰ)當0＜ ＜e，即a＞時，

f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，

∴f(x)min＝f＝－ln＝3，得a＝.

(ⅱ)當≥e，即0＜a≤時，x∈(0，e]時，f′(x)＜0，

所以f(x)在(0，e]上單調遞減，

∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)，此時f(x)無最小值．

綜上，存在實數a＝，使得當x∈(0，e]時，f(x)有最小值3.