Question

【題目】已知A、B為橢圓（）和雙曲線的公共頂點，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且（，），設AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為、、、.

（1）若，求的值（用a、b的代數式表示）；

（2）求證：；

（3）設、分別為橢圓和雙曲線的右焦點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）8．

【解析】

（1）根據平面向量的線性運算可得，設點，，將兩點分別代入雙曲線方程和橢圓方程并求解可得，，從而可求；

（2）設點P，Q的坐標分別為，，將點P的坐標代入雙曲線方程變形可得，則，同理可得，相加即可證明結論；

（3）由（2），，又，則，，從而，解得，，因為O，P，Q三點共線且，所以，則，可求，結合①可得，再求，同理可求和，由此即可求得結果.

（1）如圖，，，

，，

若，則，設點，，

將兩點分別代入雙曲線方程和橢圓方程中得：，，

解得，，，故；

（2）設點P，Q的坐標分別為，，

則，即，

所以，①，

同理，②，由（1）知，O，P，Q三點共線，

，由①②得，；

（3）由（2），，又，則，

即，，從而，又，

解得，，

因為O，P，Q三點共線且，所以，

則，所以，

由①得，同理，

另一方面，，類似地，，

故.