Question

【題目】如下圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動，則直線D1E與A1D所成角的大小是 ， 若D1E⊥EC，則直線A1D與平面D1DE所成的角為

Answer 1

【答案】90°；30°
【解析】解：∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動，∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），
設E（1，t，0），0≤t≤2，
則 =（1，t，﹣1）， =（﹣1，0，﹣1），
∴ =﹣1+0+1=0，
∴直線D1E與A1D所成角的大小是90°．
∵ =（1，t，﹣1）， =（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，
∴ =﹣1+t（2﹣t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
平面D1DE的法向量為 =（﹣1，1，0），cos＜ ， ＞= =﹣ ，
∴直線A1D與平面D1DE所成的角為30°．
所以答案是90°，30°．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．