Question

設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
（2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;
（3）已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

Answer 1

（1）當m=0時,方程表示兩直線,方程為;當時, 方程表示的是圓，當且時,方程表示的是橢圓;（2）存在圓滿足要求(3) 當時|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

試題分析：（1）因為,,,
所以,   即.
當m=0時,方程表示兩直線,方程為;
當時, 方程表示的是圓
當且時,方程表示的是橢圓;
(2).當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,
則使△=,
即,即,    且
,
要使,  需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.
(3)當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知, 即   ①,
因為與軌跡E只有一個公共點B₁,
由（2）知得,
即有唯一解
則△=,   即,    ②
由①②得,  此時A,B重合為B₁(x₁,y₁)點,
由 中,所以,,
B₁(x₁,y₁)點在橢圓上,所以,所以,
在直角三角形OA₁B₁中,因為當且僅當時取等號,所以,即
當時|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.
點評：中取不同值時代表不同的曲線，可一是直線，圓，橢圓，雙曲線；
直線與橢圓相交問題常用的思路：直線方程與橢圓方程聯立，整理為x的二次方程，利用根與系數的關系，將所求問題轉化到兩根來表示，本題第二問第三問對學生而言難度較大