Question

如圖，在直三棱柱（側棱和底面垂直的棱柱）中，平面側面，,，且滿足.

（1）求證：；
（2）求點的距離；
（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，然后根據條件平面側面得到AD⊥平面A₁BC,從而得到AD⊥BC.再結合直三棱柱的定義得到AA₁⊥BC.所以BC⊥側面A₁ABB₁，最后由線面垂直的定義得到結論；（2）BC、BA、BB₁所在的直線兩兩相互垂直，所以可建立空間直角坐標系，根據條件分別得到  所以,即點的距離；（3）分別計算平面 的法向量為及平面 的法向量.其中平面 的法向量易知可以為.然后再計算這兩個法向量的夾角，則所求的二面角為該夾角或其補角.由圖可知二面角的平面角為鈍角，故應為此夾角的補角，所以算得其余弦值為.
試題解析：（1）證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作
AD⊥A₁B于D，則由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁,且平面A₁BC側面A₁ABB₁=A₁B,得
AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC.
因為三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，則AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC.
又AA₁AD=A,從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB側面A₁ABB₁，故AB⊥BC.                               4分

（2）由（1）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分
別為x軸、y軸、z軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，

B(0,0,0),  A(0,3,0),  C(3，0，0) ,  
有由，滿足，
所以E(1，2，0), F(0，1，1)
  所以,
所以點的距離.                    8分
（3）設平面 的法向量為，易知平面 的法向量可以為.
由，令，可得平面 的一個法向量可為.設與的夾角為.則，易知二面角的平面角為鈍角，故應為角的補角，所以其余弦值為.                                     12分