Question

【題目】對于函數f（x）=xlnx有如下結論： ①該函數為偶函數；
②若f′（x0）=2，則x0=e；
③其單調遞增區間是[ ，+∞）；
④值域是[ ，+∞）；
⑤該函數的圖象與直線y=﹣ 有且只有一個公共點．（本題中e是自然對數的底數）
其中正確的是（請把正確結論的序號填在橫線上）

Answer 1

【答案】②③⑤
【解析】解：f（x）=xlnx的定義域是（0，+∞），故不是偶函數，故①錯誤； f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正確；
令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，
解得：x＞ ，
∴f（x）的單調遞增區間是[ ，+∞），故③正確；
由f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
得：f（x）的最小值是f（ ）=﹣ ，
故f（x）的值域是[﹣ ，+∞），故④錯誤；
故該函數的圖象與直線y=﹣ 有且只有一個公共點，⑤正確；
所以答案是：②③⑤．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．