Question

【題目】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)PG，

由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD．

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．

又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．

（2）解：由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD．

所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．

【解析】(1)結(jié)合已知條件利用正三角形的特點即可得到線線垂直，再由面面垂直的性質(zhì)定理即可得出線面垂直進而得到線線垂直然后由菱形的特點得出線線垂直進而得到線面垂直。(2)根據(jù)(1)的結(jié)論即可得到線線垂直再由線面垂直的判定定理即可得證。
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想；垂直于同一個平面的兩條直線平行．