Question

【題目】如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點(diǎn)是 的中點(diǎn),連接．

（1）證明:平面平面;

（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由是等邊三角形,,得．再證明,,從而和證明平面,故平面平面得證．

（2）作,垂足為連接．由,證得結(jié)合二面角為,可得,,.建立空間直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo)則,,向量,即平面的一個(gè)法向量,運(yùn)用公式和,即可得出直線與平面所成角的正弦值．

解:（1）證明:因?yàn)?/span>是等邊三角形,,

所以,可得．

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn),則,,

因?yàn)?/span>,平面PBD,平面,

所以平面,因?yàn)?/span>平面,

所以平面平面．

（2）如圖,作,垂足為連接．

因?yàn)?/span>,

所以為二面角A-BD-C的平面角．

由已知二面角為,知．

在等腰三角形中,由余弦定理可得．

因?yàn)?/span>是等邊三角形,則,所以．

在中,有,得,

因?yàn)?/span>,所以．

又,所以．

則,．

以為坐標(biāo)原點(diǎn),以向量的方向分別為軸,軸的正方向,

以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則,,向量,

平面的一個(gè)法向量為,

設(shè)直線與平面所成的角為,

則,

所以直線與平面所成角的正弦值為．