Question

【題目】（1）試比較與的大小.

（2）若函數的兩個零點分別為，，

①求的取值范圍；

②證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）①.②證明見解析

【解析】

（1）設，然后利用導數求出的單調性，然后結合函數值即可比較出大小；

（2）①利用導數求出的最小值即可；

②不妨設，則，結合（1）中結論可推出，，然后可得，將其分解因式可證明.

（1）設，

則，

故在上單調遞減.

因為，

所以當時，；當時，；當時，.

即當時，；

當時，；

當時，.

（2）①因為，所以，

令，得；令，得，

則在上單調遞減，在上單調遞增，

故.

因為有兩個零點，所以，即.

因為，，

所以當有兩個零點時，的取值范圍為.

②證明：因為，是的兩個零點，

不妨設，則.

因為，，

所以，，

即，，

則，即，

即.

因為，所以，則，即.