Question

如圖，已知△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ACD⊥平面ADE，根據面面垂直的判定定理可知在平面ADE內一直線與平面ACD垂直，而根據題意可得DE⊥平面ADC；
（2）要求三棱錐A-CBE的體積，可轉化成求出三棱錐E-ABC的體積，而該三棱錐的高為BE易于求解，然后根據三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形∴CD∥BE，BC∥DE
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．
∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC
又∵DE?平面ADE
∴平面ACD⊥平面ADE
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC∴BE⊥AB，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

在Rt△ABC中∵AC=

AB2-BC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

∴V(x)=VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及棱錐的體積和轉化的數學思想，屬于基礎題．