Question

已知m≥1，n≥1，且，（a＞1），則log_a（mn）的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），可得到（x-1）²+（y-1）²=4，再通過三角換元即可求得答案．
解答：解：依題意，令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），
則log²_am=x²，log²_an=y²，=2（log_aa+log_am）=2+2x，同理可得，=2+2y，
∴log²_am+log²_an---（-2）
=x²+y²-2x-2-2y-2+2=0，
∴（x-1）²+（y-1）²=4，
令x-1=2cosθ，y-1=2sinθ，
則x=1+2cosθ，y=1+2sinθ，
∴log_a（mn）=log_am+log_an=x+y=1+2cosθ+1+2sinθ=2+2sin（θ+）≤2+2．
故答案為：2+2．
點評：本題考查對數的運算性質，考查三角換元，考查轉化思想與抽象思維能力，屬于難題．