Question

已知m≥1，n≥1，且log2am+log2an=loga(am)2+loga(an)2-2，（a＞1），則log_a（mn）的最大值為

2+2

2

．

Answer 1

分析：令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），可得到（x-1）²+（y-1）²=4，再通過三角換元即可求得答案．

解答：解：依題意，令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），
則log²_am=x²，log²_an=y²，loga(am)2=2（log_aa+log_am）=2+2x，同理可得，loga(an)2=2+2y，
∴l(xiāng)og²_am+log²_an-loga(am)2-loga(an)2-（-2）
=x²+y²-2x-2-2y-2+2=0，
∴（x-1）²+（y-1）²=4，
令x-1=2cosθ，y-1=2sinθ，
則x=1+2cosθ，y=1+2sinθ，
∴l(xiāng)og_a（mn）=log_am+log_an=x+y=1+2cosθ+1+2sinθ=2+2

2

sin（θ+

π

4

）≤2+2

2

．
故答案為：2+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查三角換元，考查轉(zhuǎn)化思想與抽象思維能力，屬于難題．