Question

【題目】設橢圓的左右焦點分別為、，橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點，的最大面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過的直線與橢圓交于、兩點，連接、，若的內切圓面積為，則求直線方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或或或．

【解析】

（1）面積最大值為，由離心率，結合，即可求出橢圓方程；

（2）設，由已知可得內切圓的半徑，以及周長，求出的面積，且等于，求出，設直線方程，與橢圓方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，結合根與系數關系，即可求解.

解：（1）當為上下頂點時，的面積最大，

所以．又∵，∴，

解得，，，橢圓方程為．

（2）∵內切圓的面積為，∴內切圓的半徑為．

∵，∴．

設，則聯立直線方程與橢圓方程，

得，

則，，

∴，

∴或，則或．

∴直線方程為或

或或．