Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)），將上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的和倍后得到曲線．以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線：．
（1）試寫出曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的參數(shù)方程；
（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

（1）參考解析；（2），

試題分析：（1）由曲線：（為參數(shù)），寫出相應(yīng)的直坐標(biāo)方程，在轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.由上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的和倍后得到曲線.得到直角坐標(biāo)方程，在轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程.
（2）將直線：，化為直角坐標(biāo)方程. 點在曲線上.用點P的參數(shù)方程的形式帶入，點到直線的距離公式，通過求三角函數(shù)的最值即可得到結(jié)論.
（1）由已知得曲線的直角坐標(biāo)方程是，所以曲線的極坐標(biāo)方程是，
因為曲線的直角坐標(biāo)方程是，所以根據(jù)已知的伸縮變換得曲線的直角坐標(biāo)方程是，所以曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）．    5分
（2）設(shè).由已知得直線的直角坐標(biāo)方程是，即.所以點P到直線的距離.當(dāng)即時. .此時點P的坐標(biāo)是.所以曲線上的一點到直線的距離最小，最小值是.