Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且.

（1）證明：平面；

（2）求以為棱，與為面的二面角的大小

（3）在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）.（3）存在；證明見解析.

【解析】

（1）根據菱形的性質，結合勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）作交于，根據平行線的性質可以得到平面.

作于，連結.，即為二面角的平面角，通過正切的定義求解即可；

（3）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點且垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，可知軸垂直平分，利用空間向量的共線向量的定義，結合線面垂直的判定定理和性質定理進行求解即可.

（1）證明：因為底面是菱形，，所以.

在中，由，知.同理，.所以平面；

（2）解：作交于，由平面，知平面.

作于，連結.因為平面，所以，而，所以平面，而平面，

則，即為二面角的平面角.

又，所以，，.

從而，；

（3）由（1）知平面，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點且垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，可知軸垂直平分.

則，，，.

設；

∴.

設為平面的法向量，

則有：.

令得.

若平面，則有，

∴.

解得，此時為的中點.

因此在棱上存在一點，使平面.