【題目】已知函數
，
．
（1）求
單調區間；
（2）設
，證明：
在
上有最小值；設在上的最小值為
，求函數的值域．
【答案】（1）
在
單調遞增，
單調遞減，在
單調遞增．
（2）
.
【解析】分析：（1）先求導數，再求導函數零點，最后根據導函數符號確定單調區間，（2）先求
導函數，根據導函數
單調性以及零點存在定理確定導函數有且僅有一個零點，再根據導函數符號確定單調性，由單調性確定最小值.根據導函數零點條件得
，根據（1）的單調性確定值域.
詳解：（1）
．
由
得
，或
；由
得
．
所以在
單調遞增，
單調遞減，在單調遞增．
（2）
．設
，則當時，
， 在上是增函數．
因為
，
，故在上有唯一零點
．
當
時，
，單調遞減；當
時，
，單調遞增．故當
時，在上的最小值
．
因為
，
，所以
．
當時，是
的遞減函數，所以等價于．
由（1）知
在遞減，所以
于是函數
的值域為
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列命題：（1）雙曲線
與橢圓
有相同的焦點；（2）“
”是“
”的必要不充分條件；（3）若向量
與向量
共線，則向量，所在直線平行；（4）若
三點不共線，
是平面
外一點，
，則點
一定在平面上；其中是真命題的是______(填上正確命題的序號)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（t為參數，
），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
.
（Ⅰ）當
時，直接寫出的普通方程和極坐標方程，直接寫出的普通方程；
（Ⅱ）已知點
，且曲線和交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐
中，
，
，
，點
在
上，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）求以
為棱，
與
為面的二面角的大小
（3）在棱
上是否存在一點
，使
平面
？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線方程為x2＝2py(p>0)，M為直線y＝－2p上任一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費
（單位：千元）對年銷售量
（單位：
）和年利潤
（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費
和年銷售量
數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
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|
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46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中
，
附：對于一組數據
，其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
（1）根據散點圖判斷，
與
，哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立關于的回歸方程；
（3）已知這種產品的年利潤與
的關系為
，根據（2）的結果回答：當年宣傳費
時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數
被稱為狄利克雷函數，其中
為實數集，
為有理數集，則關于函數
有如下四個命題：①
；②函數是偶函數；③任取一個不為零的有理數
，
對任意的
恒成立；④存在三個點
，
，
，使得
為等邊三角形.其中真命題的個數有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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