Question

【題目】已知函數（且）.

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）若，判斷在的單調性并用復合函數單調性結論加以說明；

（3）若，是否存在，使在的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）是奇函數，證明見解析；（2）在上單調遞減，見解析（3）存在，．

【解析】

（1）根據奇函數的定義可判斷該函數為奇函數.

（2）令，可判斷此函數為增函數，而外函數為減函數，由復合函數的單調性的判斷方法可知原來的函數為上的減函數.

（3）根據函數的單調性可把的存在性問題轉化為方程有兩正根，利用根分布可求實數的取值范圍.

（1）是奇函數，證明如下：

由解得或，

所以的定義域為，關于原點對稱．

∵，

故為上的奇函數.

（2）令，則在上為單調遞增函數.

因為，故為減函數，

故復合函數為上為單調遞減函數.

（3）由（2）知，當時，在上單調遞減，則.

假設存在，使在的值域為．

則有，∴．

所以，是方程的兩正根，

整理得在有2個不等根和．

令，則在有2個零點，

，解得，故的取值范圍為．