Question

【題目】已知動圓經過定點，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設過點的直線，分別與曲線交于，兩點，直線，的斜率存在，且傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由拋物線的定義可知E的軌跡為以D為焦點，以x=﹣1為準線的拋物線，

（2）設l1，l2的方程，聯立方程組消元解出A，B的坐標，代入斜率公式計算kAB．

（1）由已知，動點到定點的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義知點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，故曲線的方程為.

（2）由題意可知直線，的斜率存在，傾斜角互補，則斜率互為相反數，且不等于零.

設，，直線的方程為，.

直線的方程為，

由得，

已知此方程一個根為，∴，

即，同理，

∴，，

∴

，

∴，

所以，直線的斜率為定值.