Question

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求證：平面ABD；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）先證 （Ⅱ） （Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直線BD將△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即，
故．          
∵平面⊥平面，平面平面=，平面，
∴平面．        
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，
如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系．            

則，，，．
∵E是線段AD的中點，
∴，．
在平面中，，，
設平面法向量為，
∴，即，
令，得，故．            
設直線與平面所成角為，則
．           
∴直線與平面所成角的正弦值為．              
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量為，
而平面的法向量為，
∴，
因為二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．
考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．
點評：本題重點考查線面垂直、線面角與二面角的平面角，以及翻折問題，學生必須要掌握在翻折的過程中，哪些是不變的，哪些是改變，這也是解決此類問題的關鍵．