Question

（2012•許昌三模）如圖，在Rt△ABC中，D是斜邊AB上一點，且AC=AD，記∠BCD=β，∠ABC=α．
（Ⅰ）求sinα+2sin²β的值； 
（Ⅱ）若BC=

3

CD，求∠CAB的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直角三角形的兩銳角互余及外角性質用α，β表示出∠A和∠ACD，再由AC=AD，利用等邊對等角得到一對角相等，進而得出α與β的關系式，用β表示出α，代入所求式子中，利用誘導公式變形，計算后即可得到值；
（Ⅱ）由BC=

3

CD，利用正弦定理列出關系式，利用誘導公式變形后，將第一問得出的α+β=

π

2

-β，α=

π

2

-2β代入，利用誘導公式化簡，再利用二倍角的余弦函數公式化為關于cosβ的方程，求出方程的解得到cosβ的值，由α和β都為直角三角形的銳角，利用特殊角的三角函數值求出β的度數，即可得到∠CAB的度數．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：∠A=

π

2

-α，∠ACD=

π

2

-β，
又AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴α+β=

π

2

-β，即α=

π

2

-2β，
則sinα+2sin²β=sin（

π

2

-2β）+1-cos2β=cos2β+1-cos2β=1；
（Ⅱ）由BC=

3

CD及正弦定理知：

BC

CD

=

sin∠BDC

sinα

=

3

，
∴sin∠BDC=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）=

3

sinα，
由（Ⅰ）知α+2β=

π

2

，即α+β=

π

2

-β，α=

π

2

-2β，
∴sin（

π

2

-β）=

3

sin（

π

2

-2β），即cosβ=

3

cos2β=

3

（2cos²β-1），
整理得：2

3

cos²β-cosβ-

3

=0，
解得：cosβ=

3

2

或cosβ=-

3

3

（舍去），
∵α，β∈（0，

π

2

），
∴β=

π

6

，
則∠CAB=

π

3

．

點評：此題考查了正弦定理，誘導公式，二倍角的余弦函數公式，等腰三角形的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．