Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調減區間；

（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，試問過點可作的幾條切線？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為（2）（3）當時，切線有一條；當時，切線有兩條，詳見解析

【解析】

（1）對求導得到，令，得到的范圍，從而得到的單調區間；

（2）令，求導得到，令，分，，，研究的正負，即的正負，從而得到的單調性，再判斷與的關系，從而得到的范圍；

（3）切點為，利用導數的幾何意義表示出過的切線，代入點坐標得到，令，分，討論的正負，從而得到的單調性，再研究其零點，從而得到切點的個數和切線的條數.

解：（1）時，，

，

令，則，所以的單調減區間為.

（2）令，

，

令，∵，又，

①當時，，在上恒成立，

∴在上單調遞減，成立；

②當時，，，，

∴在上單調遞減，成立；

③當時，，∴在上有唯一零點，記為，

且在上遞減，在上遞增，

∴當時，，不成立.

綜上：.

（3）設過的切線的切點為，則，

切線方程為，

又切線過，得，

即，

令，，

①當時，，在上遞減，

由，，

所以只有一解，即切線只有一條；

②當時，令，，

由在上單調遞減，在遞增，

又，所以，

一方面：∵，

∵，又，∴，∴，

∴在上有零點；

另一方面：由（2）知對恒成立，

∴對恒成立，

∴當時，有

，

∴，又時，，∴，

∴在上有零點，故有兩個零點，即切線有兩條.

綜上，當時，切線有一條；當時，切線有兩條.