Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且滿足．

（1）若直線的斜率為1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

(1)由得拋物線的方程為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得到的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo).
(2) 設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得到，又，可得，則可求出的范圍,然后用弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，求出點(diǎn)到的距離，,然后再求最大值.

解（1）點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線的方程為．

設(shè)直線方程為，，，

由，得，，，

由得

所以，，．

（2）設(shè)直線方程為．

，得，

從而．

由于為線段的中點(diǎn)，則，，即

又，則，從而

點(diǎn)在拋物線上，則，．

由于且，得，

又三點(diǎn)共線時(shí)，，所以．

又

點(diǎn)到的距離，

則，

記，則．

故在區(qū)間遞減，遞增，，此時(shí)

所以

四邊形面積的最大值為．