Question

【題目】已知函數的圖象與軸相切，且切點在軸的正半軸上.

（1）若函數在上的極小值不大于，求的取值范圍；

（2）設（），證明： 在上的最小值為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：(1)由圖像與x軸相切，可知，可求得,又x>0,所以f(1)=0.可求得a=2.所以， ，要有極小值所以，所以在處取得極小值，即且要滿足極值點在定義域（-3，2）上，即-3<<2,由以上不等式組，可解得m范圍。

（2）由題得可知： ，（ ， ）

.只需考慮部分的正負性，所以設， ， ，所在上遞增，即，所以函數（0，1）遞減，在遞增，所以。

試題解析;（1）∵，∴令得，由題意可得，∴.

， ，

當，即， 無極值.當，即時，令得；

令得或，∴在處取得極小值.

當，即時， 在上無極小值，

故當時， 在上有極小值，

且極小值為，即.

∵，∴，∴.

又∵，∴.

（2）證明： ， ，

.

設， ，

∵，∴，又，∴，∴，∴在上遞增，

∴.

令得；令得，∴為定值.