Question

【題目】已知f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0時

成立．

(Ⅰ)判斷f(x)在[－1,1]上的單調性，并證明；

(Ⅱ)解不等式：；

(Ⅲ)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1,1]恒成立，求實數m的取值范圍

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 單調遞增(Ⅱ) (Ⅲ) m＝0 或m≤－2或m≥2

【解析】

試題分析：（Ⅰ）任取x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，利用函數的單調性的定義證明f（x）在[-1，1]上單調遞增；（Ⅱ）利用f（x）在[-1，1]上單調遞增，列出不等式組，即可求出不等式的解集；（Ⅲ）問題轉化為m2-2am≥0，對a∈[-1，1]恒成立，通過①若m=0，②若m≠0，分類討論，判斷求解即可

試題解析：(Ⅰ)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，則－x2∈[－1,1]，∵f(x)為奇函數，

∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)，2分

由已知得>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在[－1,1]上單調遞增． 4分

(Ⅱ)∵f(x)在[－1,1]上單調遞增，∴6分

∴不等式的解集為. 7分

(Ⅲ)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上單調遞增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.

問題轉化為m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，對a∈[－1,1]恒成立． 9分

下面來求m的取值范圍．設g(a)＝－2m·a＋m2≥0.

①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1,1]恒成立．

②若m≠0，則g(a)為a的一次函數，若g(a)≥0，對a∈[－1，1]恒成立，

必須g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.

綜上，m＝0 或m≤－2或m≥2 12