Question

【題目】設函數，．

（1）求的單調區間；

（2）判斷方程在區間上是否有解？若有解，說明解得個數及依據；若無解，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）時，增區間為；時，區間為，減區間為；

（2）當時，無實數解；時，有且只有一個實數解．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數的導函數，然后分、求得函數的單調區間；（2）首先結合（1）中函數的單調性知時，在上無實數解，然后分、、討論函數的單調性，即可求得方程在區間上解的個數．

試題解析：（1），

時，，，

時，，，

，，

當時，的增區間為，此時無減區間，

當時，的增區間為，減區間為．

（2）由（1）知，當時，在上遞增，且

時，在上無實數解．

（i）當時，，此時在上遞增，

當時，在上也無實數解．

（ii）當時，在的最小值為

當時，在上也無實數解．

（iii）當時，在上遞減，且

又

當時，在上有且只有一個實數解．

綜上所述：

當時，在上無實數解，

當時，在上有且只有一個實數解．