Question

【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.

（1）求證: 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點(diǎn),使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，由線面垂直的判定得到平面；

（2）取中點(diǎn)為，連接，，由已知可得，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，，進(jìn)一步求出向量、、的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，設(shè)與平面的夾角為，由，求得直線與平面所成角的正弦值；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，設(shè)，，由可得，，由平面，可得，由此列式求得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為所求．

試題解析：（1）證明: 因?yàn)槠矫?/span>平面,平面,

又因?yàn)?/span>平面.

（2）如圖, 取的中點(diǎn),連接又因?yàn)?/span>平面,平面平面,平面,平面,.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意.

設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,又,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得，因此點(diǎn)平面平面，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，解得，所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，

此時(shí).