Question

已知函數f（x）滿足2f（x+2）=f（x），當x∈（0，2）時，f（x）=lnx+ax（a＜-

1

2

），當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4．求x∈（0，2）時f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），設x∈（-4，-2）時，則x+4∈（0，2），代入x∈（0，2）時，f（x）=lnx+ax（a＜-

1

2

），求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根據當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4，利用導數求得它的最大值，解方程即可求得a的值，進而求得結論；

解答： 解：由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
∵x∈（0，2）時，f（x）=lnx+ax（a＜-

1

2

），設x∈（-4，-2）時，則x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）時，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
f′(x)=

4

x+4

+4a=4a•

x+4+ 1 a

x+4

，
∵a＜-

1

2

，
∴-4＜-

1

a

-4＜-2
∴當x∈(-4，-

1

a

-4)時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
當x∈(-

1

a

-4，2)時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
當x=-

1

a

-4時，f（x）有最大值4ln(-

1

a

)+a(-

1

a

)
4ln(-

1

a

)+a(-

1

a

)=-4，
解得a=-1
∴當x∈（0，2）時，f（x）=lnx-x

點評：此題是個難題．考查函數解析式的求法以及函數恒成立問題，體現了轉化和分類討論的思想方法，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．